Поиск задач

В классе $3$ ряда по $6$ парт в каждом ряду (за партой может сидеть только один ученик). $18$ школьников выбирают себе места: четверо хотят сидеть на первом ряду, по трое хотят занять места на втором и третьем рядах, а остальным безразлично, где сидеть. Сколькими способами можно рассадить школьников за парты с учётом их пожеланий?

За круглый стол сели $76$ мудрецов. Часть из них в синих колпаках, остальные — в красных. Известно, что среди любых трёх мудрецов, сидящих подряд, найдётся по крайней мере один в красном колпаке. Какое наименьшее количество мудрецов может быть в красных колпаках?

В караване $17$ верблюдов. В понедельник каждый верблюд плюнул ровно в $N$ других верблюдов. При каком наименьшем $N$ можно гарантировать, что нашлись два верблюда, которые плюнули друг в друга?

Какую наименьшую сумму могут иметь $11$ последовательных натуральных чисел, если эта сумма оканчивается на $20\,222\,023$?

На $23$ карточках записаны цифры. Из этих карточек сначала сложили $23$-значное число $A$, а затем, переложив карточки в другом порядке — $23$-значное число $B$. Оказалось, что разность $(A-B)$ — это $22$-значное число, составленное из одинаковых цифр. На какую цифру оканчивается число $B$, если число $A$ оканчивается на цифру $5$?

Найдите наибольшее натуральное значение параметра $t$, при котором число \[ 4t^4-96t^2+1 \] является простым.

В равносторонний треугольник $PQR$ вписана окружность. Высота $PH$ пересекает эту окружность в точке $A$, отличной от $H$. Прямая $AQ$ пересекает окружность в точке $B$, отличной от $A$. Найдите радиус окружности, если известно, что $AB=\sqrt{63}$.

Дискриминант приведённого квадратного трёхчлена равен $D$. Найдите его больший корень, если известно, что его корни различны, и они равны $D$ и $1{,}5D$.

С первого поля собрали $600$ килограммов пшеницы, а со второго — $1\,200$ килограммов пшеницы, при этом известно, что на первом поле с одного квадратного метра было собрано на $50$ граммов меньше пшеницы, чем на втором. На следующий год было решено внести дополнительные удобрения, в результате чего урожай на каждом из полей стал равен $2\,400$ килограммов. При этом урожайность на втором поле оказалась на $100$ граммов с квадратного метра меньше, чем на первом. Найдите площадь первого поля. Ответ дайте в квадратных метрах.

В треугольнике $ABC$ проведены высота $AH$ и биссектриса $AD$; точка $H$ лежит между точками $B$ и $D$. Известно, что $BH=1$, $HD=3$, $CD=12$. Найдите $\sin\angle HAD$.