Поиск задач

На острове рыцарей и лжецов прошло математическое соревнование между командой рыцарей (которые всегда говорят правду) и командой лжецов (которые всегда лгут). В каждой команде было три человека. На соревновании предлагалось три задачи: одна по алгебре, другая по геометрии, третья по комбинаторике. После соревнования участники рассказали следующее.
Артём: «Наша команда решила все задачи».
Борис: «Мы решили ровно две задачи — по геометрии и комбинаторике».
Василий: «Мы решили ровно две задачи — по алгебре и по геометрии».
Григорий: «Наша команда справилась с задачей по алгебре».
Дмитрий: «Мы не решили геометрию».
Евгений: «Мы не решили только комбинаторику».
Определите состав команды рыцарей.

Найдите все функции $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, удовлетворяющие при всех $x,y\in\mathbb{R}$ уравнению\[2(f(x)+f(y))=\max\left\{2f(x+y);\ x-y;\ y-x\right\}.\]

Решите уравнение\[\left[\frac{3x^2+8}{2}\right]=\frac{15x^2-7}{5},\]где через $[c]$ обозначена целая часть действительного числа $c$, то есть наибольшее целое число, не превосходящее $c$.

При каких значениях параметра $a$ система\[\begin{cases}3|x|+4|y|=12,\\x^2+(y-1)^2=a^2,\end{cases}\]имеет нечётное количество решений?

Дана последовательность $a_k=\dfrac{1}{k^2+k}$, $k\in\mathbb{N}$. Известно, что\[a_p+a_{p+1}+\ldots+a_{q-1}=\frac{1}{43}\]для некоторых натуральных $p$ и $q$ ($p\lt q$). Найдите $p+q$.

Основанием прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ служит треугольник $ABC$, в котором $\angle ACB=90^\circ$, $AC=3$ см, $CB=4$ см. Высота призмы равна $12$ см. Точка $K$ лежит на отрезке $AC_1$, причём $AK=\dfrac{AC_1}{3}$. Муравей начал движение из точки $K$ и движется со скоростью $1$ см/с по поверхности призмы. За какое наименьшее время в секундах муравей может достигнуть точки $B_1$?

В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C=90^\circ$) проведена высота $CH$. Луч с началом в точке $B$ наклонен под углом $45^\circ$ к гипотенузе и пересекает отрезки $CH$ и $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите $\angle BAC$, если известно, что периметры треугольников $BCM$ и $MCN$ равны.

Рациональным или иррациональным является число\[\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}-\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}?\]

Вася написал на доске четыре числа: $\sin x$, $\cos x$, $\operatorname{tg}x$ и $Y\neq\operatorname{ctg}x$ в каком-то порядке. Все числа оказались различными и положительными. Всегда ли Петя может определить, где именно какое число?

Владимир и Пётр бегают кругами по стадиону, каждый со своей постоянной скоростью. Если они бегут в противоположных направлениях, то встречаются раз в $3$ минуты, а если в одном направлении, то раз в $6$ минут. За сколько минут Владимир пробегает один круг? Укажите все возможные варианты.