Поиск задач

Найдите все значения $a$, при которых уравнение \[ \log_2^2\left(\dfrac{2x}{1+x^2}\right)+2(a-1)\log_2\left(\dfrac{x}{1+x^2}\right)+a^2-a-2=0 \] имеет решение.

Туристический автобус, вмещающий не более 50 человек, привёз группу школьников после экскурсии в кафе. Школьники расселись в кафе так, что за несколькими столами оказалось по три девочки и одному мальчику, за другими несколькими столами — по два мальчика и одной девочке, и ещё за одним столом оказались одна девочка и один мальчик. Какое максимальное количество школьников могло быть на экскурсии, если известно, что девочек в группе в полтора раза больше, чем мальчиков?

В правильном тетраэдре $ABCD$ проведено сечение так, что оно проходит через точки $K$, $L$, $M$, лежащие на рёбрах $DC$, $DB$, $DA$ соответственно. При этом $DK:KC=1:3$, $DL:LB=2:1$, $DM:MA=1:1$. Найдите угол между плоскостями грани $ABC$ и построенного сечения.

В четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность с центром $O$, при этом $\angle AOB=75^\circ$, $AB=3$. Найдите площадь круга, ограниченного описанной вокруг треугольника $ABE$ окружностью, где $E$ — точка пересечения прямых $AD$ и $BC$.

Решите уравнение \[ \cos\left(11x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin\left(17x+\dfrac{\pi}{4}\right). \]