Поиск задач

На собеседовании группе из $8$ претендентов предложили тест, содержащий $m$ вопросов. Сложность вопросов теста определялась условием того, что любая группа из $4$ претендентов, работая сообща, могла правильно ответить на все вопросы теста, при этом меньшее количество участников собеседования, объединившись в группу, обязательно допускали хотя бы одну ошибку. Найти наименьшее возможное при этих условиях значение $m$.

Найти все пары чисел $(x;y)$, для которых \[ \sqrt{\cos x+1}+\sqrt{\cos2x+2}+\sqrt{\cos y+3}=\sqrt{\cos y+1}+\sqrt{\cos x+2}+\sqrt{\cos2x+3}=\sqrt{\cos2x+1}+\sqrt{\cos y+2}+\sqrt{\cos x+3}. \]

Елку на новогоднем вечере украсили $99$ лампочками по числу приглашенных на праздник гостей. У каждой лампочки имеется отдельный выключатель с двумя положениями (вкл/выкл) и номером от $1$ до $99$. Такие же номера нарисованы на костюмах каждого из гостей. Дед Мороз предложил всем математическую игру: все гости, по очереди, начиная с первого, подходят к выключателям с номерами кратными их собственному номеру и меняют их положение на противоположное. Так, гость с номером $1$ меняет положение всех выключателей, с номером $2$ — только четных и т. д. В начале игры все лампочки были включены. Сколько лампочек оказались включенными после окончания игры?

Известно, что в любой тройке $(x,y,z)$ различных чисел, удовлетворяющих системе \[ \begin{cases} x+y+z=\dfrac1a,\\ \dfrac1x+\dfrac1y+\dfrac1z=a, \end{cases} \] есть число, равное $a\ne\pm1$. Найти наименьшее возможное значение выражения $x^2+y^2+z^2$. При каком $a$ оно достигается?

Точки $M$ и $N$ — середины скрещивающихся ребер $AD$ и $BC$ треугольной пирамиды $DABC$ с вершиной $D$. Точка $Q$ на ребре $AC$ делит его в отношении $AQ:AC=1:3$. Через точки $M$, $N$ и $Q$ проведено сечение пирамиды плоскостью, делящей пирамиду на две части. Найти отношение их объемов.