Поиск задач

Сколько существует натуральных чисел $k$, для которых перевод обыкновенной дроби $\dfrac{2k+3}{2k}$ в десятичную приведет к конечной десятичной дроби с $100$ знаками после запятой?

При каких натуральных $n$ дробь $\dfrac{2}{n}$ может быть представлена периодической десятичной дробью вида $0{,}1(a_1a_2)$ с периодом, содержащим две различные цифры?

Рассматривается множество $M$ целых чисел $n\in[-20;100]$, для которых выражение \[ A=n^3+n^2-14n-24 \] делится на $7$. Сколько целых чисел содержится в $M$? Найти наибольшее и наименьшее из них.

Команда из трех пиратов причалила к острову, чтобы разделить оставленный там клад золотых монет. Время было позднее, и они решили отложить дележ монет до утра. Первый пират проснулся ночью и решил забрать свою долю. Разделить монеты на три равные части ему не удалось, поэтому он забрал сначала одну монету, а потом треть от оставшихся и пошел спать. Не зная про это, второй пират проснулся ночью и проделал то же самое что и первый. Третий пират повторил то, что сделали первый и второй. Утром, не сказав друг другу ни слова, они разделили между собой поровну оставшиеся монеты. Сколько монет досталось каждому пирату, если первоначально клад содержал не менее $110$ и не более $200$ монет?

$AM$ и $BN$ — биссектрисы треугольника $ABC$. На прямой $MN$ расположена точка $P$, удаленная от прямых $AB$ и $BC$ на расстояния $4$ и $1$ соответственно. Найти расстояние от точки $P$ до прямой $AC$.