Поиск задач

Решить неравенство \[ \sqrt{(\cos^2x+1{,}5\sin x)(3\cos^2x-1{,}5\sin x)}\geqslant2\cos^2x. \]

Найти наименьшее натуральное число, имеющее при делении на $3$, $5$ и $6$ в остатке $1$, а при делении на $11$ — остаток $5$.

Точки $O$ и $Q$ — центры описанной и вписанной окружностей треугольника $ABC$ соответственно. Прямая $AB$ пересекает отрезок $OQ$ в точке $M$ так, что $OM:MQ=2$. Найти углы треугольника $ABC$, если известно, что $Q$ равноудалена от точек $A$ и $B$.

Известно, что квадрат любого из корней кубического уравнения \[ x^3-x+2=0 \] является корнем другого, также кубического уравнения. Найдите это уравнение.

Члены двух числовых последовательностей $a_n$ и $b_n$ связаны между собой соотношениями \[ \begin{cases} 2a_{n+1}=\sqrt3a_n-b_n,\\ 2b_{n+1}=a_n+\sqrt3b_n, \end{cases}\quad a_1=b_1=1 \] для всех натуральных $n$. Найти наименьшее натуральное число $m$, для которого $a_{n+m}=a_n$, $b_{n+m}=b_n$ при любых $n$. Найти значения $a_{2021}$ и $b_{2021}$.