Поиск задач

Сколькими способами в прямоугольнике $5\times15$ можно разместить две кости домино $1\times2$, каждая из которых покрашена в два цвета — чёрный и белый?
Замечание. Каждая кость занимает две соседние клетки: на одной — чёрная часть кости, а на другой — белая.

Найдите сумму квадратов всех решений уравнения \[x^2-24[x]+23=0.\] (Здесь $[x]$ обозначает целую часть числа $x$ — наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Например, $[1{,}7]=1$, $-[1{,}7]=-2$.)

Вася написал на доске натуральные числа $N$ и $N+2$. Он заметил, что сумма цифр каждого из этих чисел делится на $22$. Оказалось, что $N$ — наименьшее число, для которого это условие выполняется. Найдите сумму цифр числа $N$.

Вера написала на доске шестизначное число. Надя переставила его первую цифру в конец и написала полученное шестизначное число на доске (например, если Вера написала $123456$, то Надя написала $234561$). Люба сложила два написанных на доске числа. Какие числа из отрезка $[180000;230000]$ могли получиться у Любы? В ответе укажите сумму всех таких чисел.

Окружности $\Omega$ и $\omega$ радиусов $5$ и $3$ соответственно касаются друг друга внутренним образом в точке $T$. Прямая $\ell$ пересекает окружность $\omega$ в точках $B$ и $C$, а окружность $\Omega$ — в точках $A$ и $D$, причём $B$ лежит между $A$ и $C$, $C$ лежит между $B$ и $D$, а центры окружностей лежат по одну сторону от $\ell$. Известно, что $AB:BC:CD=1:4:7$. Найдите $AC^2$. При необходимости округлите ответ до трёх знаков после запятой.