Поиск задач

Около треугольника $ABC$ описана окружность $\omega_1$. Точка $O$ — центр окружности $\omega_2$, вписанной в треугольник $ABC$. Прямая $AO$ пересекает $BC$ в точке $K$ и второй раз окружность $\omega_1$ в точке $N$. Найдите длину $AO$, если $AB=1{,}5BK$ и $KN=4$.

Через середину $M$ диагонали $AC$ произвольного выпуклого четырехугольника $ABCD$ проведена прямая $EF$ параллельная $BD$, пересекающая стороны $AB$ и $AD$. Найти площадь четырехугольника $ABCD$, если известно, что площадь четырехугольника $BCDF$ равна 5.

При каких значениях параметра $p$ уравнение \[ p\left(x^2+4x+4\right)^2-\left(3p^2+2\right)\left(x^2+4x+4\right)(x-1)+6p\left(x^2-2x+1\right)=0 \] имеет хотя бы одно решение?

Иллюминатор представляет собой двухкамерный стеклопакет (три однородных одинаковых стекла). Определите, какой процент света пропускает стеклопакет внутрь корабля, если одно стекло пропускает 60% попадающего на него света.

Два пешехода одновременно выходят из одного пункта и идут в одном направлении (скорость первого больше скорости второго). Через некоторое время из того же пункта в том же направлении выдвигается третий пешеход. Через 4 часа после старта первых двух пешеходов он оказывается ровно посередине между первым и вторым пешеходами, а ещё через 2 часа после этого третий пешеход догнал первого, после чего сразу развернулся и пошёл в обратном направлении, встретив второго пешехода через 36 минут после того, как сменил направление движения.
Определите:
а) через какое время после старта первых двух пешеходов вышел в путь третий?
б) во сколько раз скорость первого пешехода больше скорости второго?

Решите уравнение: \[ 3\left|\dfrac{x-1}{x^2-4}\right|+|1-x|=\dfrac{(x-1)^2|x+1|}{|4-x^2|}. \]