Поиск задач

Сколькими способами Аня, Боря, Вова, Гена и Даша могут занять места в ряде из 10 сидений, чтобы Аня и Боря не оказались соседями?

Решите уравнение \[ 2\log_2\left[\frac{x}{3}\right]=2+\log_2(x-8). \] Здесь $[x]$ — целая часть числа $x$, т. е. $[x]\in\mathbb{Z}$ и \[ [x]\leqslant x\lt [x]+1. \] В ответ запишите сумму всех полученных значений $x$.

Найдите вторую цифру после запятой в десятичной записи $\left(1+\sqrt{3}\right)^{24}$.

Решите уравнение с параметром. В ответе укажите наибольшее значение параметра, при котором существует решение уравнения: \[ 6-\frac{1}{\operatorname{tg}^2(\operatorname{arcctg}x)}+2\cos(\arcsin x)+p=0. \]

Основанием четырёхугольной пирамиды $SABCD$ является параллелограмм $ABCD$, площадь которого равна $52\sqrt{3}$, а диагональ $BD=13\sqrt{2}$. Высотой пирамиды $SABCD$ является отрезок $SO$, где $O$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$. Найдите площадь сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью, параллельной диагонали основания $BD$ и проходящей через середину ребра $SC$ и точку $N$, лежащую на боковом ребре пирамиды $SD$, причём $SN=2DN$, если расстояние от точки $B$ до плоскости сечения равно $\sqrt{6}$.

Какую наименьшую длину может иметь отрезок $AB$, если точка $A$ принадлежит кривой \[ y^2x^6-729=8yx^6-16x^6, \] а точка $B$ — множеству решений уравнения \[ |x|+|y-4|=3? \] В ответ запишите квадрат найденной наименьшей длины.

Площадь трапеции равна 24. Найдите длину отрезка, соединяющего середины оснований трапеции, если диагонали трапеции равны 6 и 10.

Найдите сумму целых чисел, которые принадлежат множеству значений функции \[ f(x)=\log_2\left(15\cos2x+17\right) \] при \[ x\in\left[\frac{5}{3}\operatorname{arctg}\left(\frac{1}{7}\right)\cos\left(\pi+\arcsin(-0{,}8)\right);\ \operatorname{arctg}2\right]. \]

Одновременно из пункта $A$ в пункт $B$ отправляется автомобиль со скоростью 80 км/ч, а из пункта $B$ в пункт $C$ — поезд со скоростью 50 км/ч. Через 7 часов после начала движения они оказались на наименьшем расстоянии друг от друга. Найдите расстояние между пунктами, если все три пункта равноотстоят друг от друга и связаны прямолинейными дорогами.