Поиск задач

Во всем мире популярна игра в хоккей. Многое в игре зависит от вратаря. Для отработки навыков вратарей и обеспечения тренировочного процесса, который бы не зависел от других игроков, создали шайбомет. Автомат можно настроить так, чтобы он выбрасывал шайбы с заданной временной частотой, скоростью и под определенным углом.
Пусть линия ворот находится на расстоянии 25 м от центральной точки $O$ хоккейной площадки. Автомат установлен на расстоянии $d=16$ м от точки $O$ по направлению к воротам, скорость выброса шайбы равна $V_0=20$ м/с. Броски производятся в плоскости, перпендикулярной поверхности льда и линии ворот. При этом для обеспечения безопасности траектория вылетающих шайб должна, с одной стороны, находиться не выше прямой линии, соединяющей центр ледовой площадки $O$ с точкой, находящейся в плоскости полета шайб, в плоскости ворот, и на расстоянии одного метра от поверхности льда, а с другой стороны — должна пересекать плоскость ворот по нисходящей ветви траектории.
Определите максимально возможное значение тангенса угла, под которым могут вылетать шайбы из шайбомета, если траектория движения шайбы, рассматриваемой как материальная точка, в плоскости ее полета в системе координат с центром в $O$ и осью абсцисс, направленной вдоль поверхности льда, описывается уравнениями: \[ \begin{cases} x=d+V_0t\cos\alpha,\\ y=V_0t\sin\alpha-\dfrac{gt^2}{2}. \end{cases} \] Для упрощения вычислений считать, что ускорение свободного падения $g=10$ м/с$^2$.

Найдите все значения параметра $a$, при которых система \[ \begin{cases} y=|a-3|x+1|+x+3|+3|x+1|,\\ 2^{2-y}\log_{\sqrt{3}}\left((x+|a+2x|)^2-6(x+1+|a+2x|)+16\right)+2^{x+|a+2x|}\log_{1/3}\left(y^2+1\right)=0,\\ x+|a+2x|\leqslant3 \end{cases} \] имеет единственное решение $(x;y)$, где $x$ и $y$ — целые числа. Укажите это решение при каждом из найденных $a$.

Докажите, что многочлен $P(t)=t^3-2t^2-10t-3$ имеет три различных действительных корня. Найдите многочлен $R(t)$ третьей степени с корнями $u=x^2y^2z$, $v=x^2z^2y$, $w=y^2z^2x$, где $x$, $y$, $z$ — различные корни многочлена $P(t)$.

Найдите площадь сечения правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$ плоскостью, проходящей через вершину $F$ основания $ABCDEF$ и параллельной медиане $CM$ боковой грани $SCD$ и апофеме $SN$ боковой грани $SAF$, если сторона основания пирамиды равна $4\sqrt{7}$, а расстояние от вершины $S$ до секущей плоскости равно $\sqrt{7}$.

Имеется одна подключенная к сети электрическая розетка, два удлинителя на три розетки каждый и одна настольная лампа в комплекте. Незнайка случайным образом воткнул все три вилки в 3 из 7 розеток. С какой вероятностью загорится лампа?

Биссектрисы $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ внешних углов треугольника $ABC$ пересекают продолжения противоположных сторон треугольника в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$ соответственно. Найдите угол $A_1C_1B_1$ и длину отрезка $A_1B_1$, если $AC=5$, $BC=2$, а угол $ACB$ равен $\arccos\dfrac{13}{20}$.