Поиск задач

На координатной плоскости рассматриваются квадраты, все вершины которых имеют целые неотрицательные координаты, а центр находится в точке $(60,45)$. Найдите количество таких квадратов.

Когда к квадратному трёхчлену $f(x)$ прибавили $x^2$, его наименьшее значение увеличилось на 1, а когда из него вычли $x^2$, его наименьшее значение уменьшилось на 3. А как изменится наименьшее значение $f(x)$, если к нему прибавить $2x^2$?

Найдите все значения параметра $b$ такие, что система \[ \begin{cases} x\cos a+y\sin a-2\leqslant 0,\\ x^2+y^2+6x-2y-b^2+4b+6=0 \end{cases} \] имеет хотя бы одно решение при любом значении параметра $a$.

В треугольнике $ABC$ угол при вершине $A$ в два раза больше угла при вершине $C$. Через вершину $B$ проведена касательная $\ell$ к окружности $\Omega$, описанной около треугольника $ABC$. Расстояния от точек $A$ и $C$ до этой касательной равны соответственно $4$ и $9$.
а) Найдите расстояние от точки $A$ до прямой $BC$.
б) Найдите радиус окружности $\Omega$ и длину стороны $AB$.

Решите неравенство \[ x^{\log_3 x}-2\leqslant\left(\sqrt[3]{3}\right)^{\log^2_{\sqrt3}x}-2\cdot x^{\log_3\sqrt[3]{x}}. \]

Основание треугольной пирамиды $ABCD$ — правильный треугольник $ABC$. Объём пирамиды равен $\dfrac{25}{\sqrt3}$, а её высота, проведённая из вершины $D$, равна $3$. Точка $M$ — середина ребра $CD$. Известно, что радиусы сфер, вписанных в пирамиды $ABCM$ и $ABDM$, равны между собой.
а) Найдите все возможные значения угла между гранями пирамиды при ребре $AB$.
б) Найдите все возможные значения длины ребра $CD$, если дополнительно известно, что грани $BCD$ и $ABC$ взаимно перпендикулярны.

Известно, что числа $x$, $y$, $z$ образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию с разностью $\alpha=\arccos\left(-\dfrac25\right)$, а числа $3+\sin x$, $3+\sin y$, $3+\sin z$ образуют в указанном порядке непостоянную геометрическую прогрессию. Найдите $\sin y$.