Олимпиада им. Леонарда Эйлера

Квадраты со сторонами 11, 9, 7 и 5 расположены примерно так, как на рисунке. Оказалось, что площадь серых частей в два раза больше, чем площадь черных частей. Найдите площадь белых частей.

В подводном царстве живут осьминоги, у которых может быть 6, 7 или 8 ног. Те, у которых по 7 ног, всегда лгут, а остальные всегда говорят правду. При встрече четверых осьминогов

• Синий сказал: «у нас на всех в сумме 25 ног»,
• Зеленый возразил: «нет, всего ног 26»,
• Красный сказал, что в сумме ног 27,
• а Жёлтый — что 28.

Сколько ног в реальности у каждого из осьминогов?

В треугольнике $ABC$ точка $M$ — середина $AC$, кроме того, \[BC=2AC/3\quad\text{и}\quad \angle BMC=2\angle ABM.\] Найдите отношение $AM/AB$.

Из клетчатого квадрата со стороной 2015 вырезали по клеточкам несколько квадратов со стороной 10. Докажите, что из оставшейся части большого квадрата можно вырезать:
а) один прямоугольник со сторонами 1 и 10;
б) пять прямоугольников со сторонами 1 и 10.

Известно, что и сумма и произведение двух натуральных чисел $a$ и $b$ — квадраты натуральных чисел. Докажите, что число $|16a-9b|$ — не простое.