Олимпиада им. Леонарда Эйлера
8 класс, дистанционный этап 2022/23 уч. г., тур 3
5 задач
Задача 1
На тренировке спортсмен преодолел 60 км за 3,5 часа. Сначала он плыл со скоростью 8 км/ч, потом бежал со скоростью 16 км/ч, а затем ехал на велосипеде со скоростью 24 км/ч. Что он делал дольше — плыл или ехал на велосипеде?
Ответ:
Решение:
Задача 2
В каждую клетку таблицы размером $6\times6$ записали некоторое положительное число (не обязательно целое). Оказалось, что в любой фигурке из четырёх клеток таблицы в форме буквы «Г» произведение всех стоящих там чисел равно 100. В левом верхнем углу стоит число 2. Какое число стоит в правом верхнем углу (укажите все возможности)?
Ответ:
Решение:
Задача 3
В треугольнике $ABC$, у которого угол $B$ меньше 120 градусов, медиана $BD$ короче половины стороны $AB$. Докажите, что эта медиана длиннее половины стороны $BC$.
Ответ:
Решение:
Задача 4
Существуют ли такие 2022 натуральных числа, что среди них нет одинаковых и произведение любых 1012 из них делится на произведение остальных 1010?
Ответ:
Решение:
Задача 5
В белом клетчатом квадрате размером $10\times10$ клеток закрасили черным 84 клетки. Какое наименьшее количество «уголков» из трех черных клеток могло при этом образоваться?
Ответ:
Решение: