Олимпиада «Физтех»

Точка $M$ расположена внутри треугольника $ABC$; точки $H_1$, $H_2$, $H_3$ — её проекции на стороны $AB$, $BC$, $AC$ соответственно. Известно, что $AB=AC=7\sqrt3$, $BC=2\sqrt{26}$, а площади четырёхугольников $BH_1MH_2$, $CH_2MH_3$, $AH_1MH_3$ равны между собой. Найдите $MH_2$.

По шоссе в обоих направлениях с одинаковыми интервалами ходят рейсовые автобусы (скорости движения автобусов одинаковы). Велосипедист едет по обочине шоссе и замечает, что автобусы навстречу попадаются каждые $42$ минуты, а автобусы, едущие в том же направлении, что и он, обгоняют его через каждые $25{,}2$ километров. Определите интервал движения автобусов, если скорости автобусов равны $70$ километров в час. Ответ выразите в минутах. Считаем, что велосипедист и автобусы движутся равномерно.

Решите уравнение \[3\sqrt[3]{x+21}-4\sqrt[3]{x-21}=4\sqrt[6]{x^2-441}.\] Найдите сумму всех корней уравнения. При необходимости ответ округлите до трёх знаков после запятой.

Последовательность $x_1,x_2,\ldots,x_n,\ldots$ такова, что $x_1=126\,650$, а для любого натурального значения $n$ справедливо соотношение \[x_1+x_2+\ldots+x_n=\dfrac{n(8n+17)(2n+1)x_n}{15(2n+3)}.\] Найдите $x_{1562}$.

Длина круговой дорожки стадиона равна $400$ метров. В разных местах дорожки стоят $5$ спортсменов. При этом им разрешается бежать по дорожке только против часовой стрелки. Спортсмены хотят собраться в одном месте дорожки, пробежав суммарно не более $S$ метров. При каком наименьшем $S$ они гарантированно могут это сделать?