Олимпиада «Физтех»

$S$ — сумма первых 10 членов возрастающей арифметической прогрессии $a_1, a_2, a_3, \ldots$, состоящей из целых чисел. Известно, что $a_6a_{12}\gt S+1$, $a_7a_{11}\lt S+17$. Укажите все возможные значения $a_1$.

Рассмотрим всевозможные тетраэдры $ABCD$, в которых $AB=2$, $AC=CB=5$, $AD=DB=6$. Каждый такой тетраэдр впишем в цилиндр так, чтобы все вершины оказались на его боковой поверхности, причём ребро $CD$ было параллельно оси цилиндра. Выберем тетраэдр, для которого радиус цилиндра — наименьший из полученных. Какие значения может принимать длина $CD$ в таком тетраэдре?

Пусть $M$ — фигура на декартовой плоскости, состоящая из всех точек $(x;y)$ таких, что существует пара вещественных чисел $a$, $b$, при которых выполняется система неравенств \[ \begin{cases} (x-a)^2+(y-b)^2\leqslant 2,\\ a^2+b^2\leqslant\min(2a+2b;2). \end{cases} \] Найдите площадь фигуры $M$.

Найдите количество троек натуральных чисел $(a;b;c)$, удовлетворяющих системе уравнений \[ \begin{cases} \text{НОД}(a;b;c)=6,\\ \text{НОК}(a;b;c)=2^{15}\cdot 3^{16}. \end{cases} \]

Даны числа $\log_{\sqrt{5x-1}}(4x+1)$, $\log_{4x+1}\left(\frac x2+2\right)^2$, $\log_{\frac x2+2}(5x-1)$. При каких $x$ два из этих чисел равны, а третье меньше их на 1?

Остроугольный треугольник $ABC$ вписан в окружность $\omega$ с центром $O$. Окружность, проходящая через точки $A$, $O$ и $C$, пересекает отрезок $BC$ в точке $P$. Касательные к $\omega$, проведённые через точки $A$ и $C$, пересекаются в точке $T$. Отрезок $TP$ пересекает сторону $AC$ в точке $K$. Известно, что площади треугольников $APK$ и $CPK$ равны соответственно 6 и 4.
а) Найдите площадь треугольника $ABC$.
б) Пусть дополнительно известно, что $\angle ABC=\operatorname{arctg}\frac75$. Найдите $AC$.