Олимпиада «Физтех»

Известно, что если уменьшить каждый из корней уравнения $x^2+bx+c=0$ на 3, полученные числа будут корнями уравнения $x^2+cx+b=0$. Каждый из четырёх корней этих двух уравнений увеличили на 1. Найдите произведение полученных четырёх чисел. (Сами числа $b$ и $c$ не даны.)

Назовём число забавным, если в нём чередуются чётные и нечётные цифры. Сколькими способами можно заменить звёздочки на цифры в равенстве $2{*}{*}{*}+3{*}{*}{*}={*}{*}{*}{*}$ так, чтобы получилось верное равенство с тремя забавными четырёхзначными числами?

Решите неравенство \[ \log_{x^2}\left(x^2-x\right)+\log_{(x-1)^2}(x^2-x)\geqslant\dfrac{9}{4}. \]

В основании пирамиды $DABC$ лежит правильный треугольник $ABC$, угол $ACD$ прямой. Сфера с диаметром $BD$ пересекает повторно рёбра $AD$, $AB$ и $CD$ в точках $E$, $F$ и $C$ соответственно. Найдите объём пирамиды $EACF$, если $AB=\sqrt{2}$, $CD=\sqrt{3}$.

Решите уравнение \[ \cos 4x-6\sqrt{2}\sin x-4\sin 2x+6\sqrt{2}\cos x=15. \]

В треугольнике $ABC$ угол $B=60^\circ$, а точки $D$, $E$ и $F$ лежат на сторонах $CA$, $AB$ и $BC$ соответственно, причём $BE=ED=DF=FB=10$. Отрезки $AF$ и $CE$ пересекаются в точке $X$. Найдите длину $XA$, если $XF=4$.

Найдите все значения параметра $a$, при которых система \[ \begin{cases} x+\dfrac{y^2}{x}=\min\left(6+\dfrac{8y}{x};\,8-\dfrac{6y}{x}\right),\\ y=ax-7a+1 \end{cases} \] имеет ровно два решения.