Олимпиада «Ломоносов»

Решите неравенство \[ \left(\sqrt3-\sqrt2\right)^{(\log_2 3)^{4-x^2}}\leqslant\left(\sqrt3+\sqrt2\right)^{-(\log_3 2)^{2x-1}}. \]

На основании $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ взята точка $E$, а на боковых сторонах $AB$ и $BC$ точки $D$ и $F$ так, что $DE\parallel BC$ и $EF\parallel AB$. Какую часть площади треугольника $ABC$ занимает площадь треугольника $DEF$, если $BF:EF=2:3$?

Два вкладчика вложили деньги в общее дело. После этого один из них добавил ещё 1 млн р., в результате чего его доля в общем деле увеличилась на 0,04, а когда он добавил ещё 1 млн р., его доля увеличилась ещё на 0,02. Сколько денег ему нужно добавить ещё, чтобы увеличить свою долю ещё на 0,04?

Решите неравенство \[ \frac{1}{\sqrt{-x-2}}-\frac{1}{\sqrt{x+4}}\leqslant 1+\frac{1}{\sqrt{(x+4)(-x-2)}}. \]

Числа 54 и 128 являются членами геометрической прогрессии. Найдите все натуральные числа, которые могут встретиться в этой прогрессии.

Проекции некоторой кривой в координатном пространстве на плоскости $Oxz$ и $Oyz$ удовлетворяют уравнениям $5x+\cos z=0$ и $z=\mathrm{arctg}\sqrt{y-3}$ соответственно. Найдите функцию $y=f(x)$, график которой состоит из тех и только тех точек, которые могли бы при этих условиях служить проекциями точек той же кривой на плоскость $Oxy$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система \[ \begin{cases} 25^x-13\cdot5^x+a\lt 0,\\ 12\sin^4\pi x-\cos4\pi x=11 \end{cases} \] имеет хотя бы одно решение.

На ребре $AS$ треугольной пирамиды $SABC$ отмечены такие точки $M$ и $N$, что $AM=MN=NS$. Найдите площадь треугольника $NBC$, если площади треугольников $ABC$, $MBC$ и $SBC$ равны 1, 2 и $\sqrt{37}$ соответственно.

На доске написан квадратный трёхчлен $x^2+9x+47$. Таня (по своему усмотрению) увеличивает или уменьшает на 1 коэффициент при $x$, после чего Ваня увеличивает или уменьшает на фиксированное число $m$ свободный член, а далее эти действия повторяются. Как только написанный на доске многочлен имеет целый корень, Ваня получает оценку «пять». Может ли он обеспечить себе «пятёрку» при любых действиях Тани, если а) $m=2$; б) $m=3$?

Диагонали трапеции $ABCD$ с основаниями $AD=3$ и $BC=1$ пересекаются в точке $O$. Две окружности, пересекающие основание $BC$ в точках $K$ и $L$ соответственно, касаются друг друга в точке $O$, а прямой $AD$ — в точках $A$ и $D$ соответственно. Найдите $AK^2+DL^2$.