Олимпиада «Ломоносов»

Решите уравнение: \[ \sqrt{4x^2-12x+9}+\sqrt{x^2-6x+9}+\left(\sqrt{-(x-2)}\right)^2=\sqrt{3+\sqrt{8}}-\sqrt{3-\sqrt{8}}. \]

Укажите наименьшее положительное значение $a$, при котором неравенство \[ 2^{5-\frac{1}{x}}\geqslant a+\sin\left(2^x\right) \] не имеет ни одного решения $x\gt 0$.

В окружность радиуса 3 вписан четырёхугольник, три стороны которого равны $3$, $3$, $3\sqrt{2}$. Найдите максимально возможную площадь такого четырёхугольника.

Найдите все решения уравнения \[ \cos^3(\pi x)+\cos^3(2\pi x)-\cos^3(4\pi x)=\left(\cos(\pi x)+\cos(2\pi x)-\cos(4\pi x)\right)^3, \] принадлежащие отрезку $[0{,}3;\,1{,}6]$.

Даны три функции: \[ \begin{aligned} f_1(x)&=(x+a_1)\left(x^2+b_1x+6\right),\\ f_2(x)&=(x+a_2)\left(x^2+b_2x+8\right),\\ f_3(x)&=(x+a_3)\left(x^2+b_3x+12\right). \end{aligned} \] Все числа $a$ и $b$ положительны, а также для каждого действительного $x$ выполняется условие $f_1(x)=f_2(x)=f_3(x)$. Найти значение суммы $a_1+b_1+a_2+b_2+a_3+b_3$.

Газонная поливалка равномерно разбрызгивает вокруг себя воду в круге радиуса $4-2\sqrt{2}$. На границе этого круга расположена другая такая же поливалка. А ровно посередине между двумя поливалками находится вход в нору. Мышь, хозяйка норы, хочет вернуться домой, но не хочет сильно вымокнуть. Найдите длину пути, на котором мышь намокнет меньше всего. Мышь может менять направление бега, но её скорость постоянна, и под душем двух поливалок мышь мокнет вдвое быстрее.

Первооткрыватель летел над джунглями на вертолёте и заметил забытый храм инков. Храм выстроен в форме правильной усечённой пирамиды с квадратными основаниями — сторона нижнего основания равна 2048 и. е., сторона верхней площадки равна 486 и. е. (и. е. — инкские единицы длины). Высоту храма путешественник измерить не сумел, поэтому посадил вертолёт на верхней площадке и начал спускаться по боковой поверхности пирамиды, начиная от угла. Спускался он не напрямую — склон для этого слишком крут — а наискосок, по линии, угол наклона которой к поверхности земли равен $45^\circ$. Когда он добирался до бокового ребра, он переходил через ребро и шёл по следующей грани, под таким же углом $45^\circ$ к поверхности земли. Он закончил спуск ровно у вершины нижнего основания пирамиды, насчитав по пути 5 сторон (иными словами, его путь выглядит как ломаная, и в этой ломаной получилось 5 отрезков). Какой высоты (в и. е.) был храм?

Через три стороны правильного 30-угольника проводят прямые. Стороны выбирают так, что прямые пересекаются друг с другом, и исходный многоугольник лежит внутри полученного треугольника. Сколько попарно неравных треугольников может получиться? Равными считаются треугольники, которые можно совместить поворотом или отражением.