Олимпиада «Ломоносов»

В прямоугольнике $ABDF$ на сторонах $BD=2$ и $DF=3$ выбрали точки $C$ и $E$ соответственно, так, что треугольник $AFE$ равен треугольнику $EDC$. Потом от прямоугольника $ABDF$ отрезали треугольники $ABC$, $CDE$ и $AFE$. Найдите углы оставшегося треугольника.

Можно ли нанести на грани двух кубиков неотрицательные целые числа так, чтобы при случайном бросании сумма выпавших очков могла быть равна любому целому числу от 1 до 36? Если это возможно, то в ответе укажите сумму всех 12 чисел на гранях; если невозможно — в ответе запишите 0.

Найдите все такие трёхзначные числа $\overline{LOM}$, состоящие из различных цифр $L$, $O$ и $M$, для которых выполняется равенство:\[\overline{LOM}=(L+O+M)^2+L+O+M.\]

Пете на день рождения подарили новый электролобзик, с функцией подсчёта длины сделанных пропилов. Чтобы опробовать подарок, Петя взял квадратный кусок фанеры со стороной 50 см и распилил его на квадраты со стороной 10 см и квадраты со стороной 20 см. Сколько всего квадратов получилось, если электролобзик показывает общую длину пропилов 2 м 80 см?

Сколько существует четырёхзначных чисел, обладающих следующими свойствами: все цифры числа чётные; число кратно четырём; если зачеркнуть последнюю цифру, то полученное трёхзначное число не кратно четырём?

Найдите величину\[f\left(\frac{1}{2016}\right)+f\left(\frac{2}{2016}\right)+\ldots+f\left(\frac{2016}{2016}\right),\]если $f(x)=\dfrac{x^3+9x-2}{x^2-x+2}$.