Олимпиада МЦНМО по теории вероятностей и статистике

В двух классах (всего 40 школьников) проводилась проверочная работа. В работе было 10 заданий. Каждое верно решённое задание даёт школьнику 1 балл. Диаграмма показывает распределение баллов: столбики показывают, сколько школьников получили 0 баллов, 1 балл и так далее.

Какие выводы можно сделать? (Отметьте безусловно верные утверждения.) 1. Меньше половины школьников получили менее 6 баллов. 2. С задачей № 8 справились ровно четыре человека. 3. По крайней мере половина участников получили не менее 6 баллов. 4. Найдутся два школьника, которые решили все задачи. 5. Найдутся по крайней мере два школьника, решившие задачу № 2.

Барометр измеряет атмосферное давление. Вероятность того, что давление окажется выше 746 мм рт. ст., равна $\frac{2}{3}$. Вероятность того, что давление ниже 752 мм рт. ст., равна $\frac{4}{5}$. Найдите вероятность того, что давление окажется в пределах от 746 мм рт. ст. до 752 мм рт. ст.

В доме проводился опрос по поводу благоустройства подъездов. В опросе участвовало множество людей, из них 70 % — женщины, а остальные — мужчины. За капитальный ремонт высказалось 50 % женщин и 70 % мужчин. Сколько процентов всех опрошенных высказалось за капитальный ремонт?

В понедельник, вторник и в среду самолёт летал из Москвы во Владивосток и обратно. Известно, что за эти три дня среднее время в пути на маршруте Москва–Владивосток было 8 часов 30 минут. Ещё известно, что в понедельник самолёт летел в Москву на час дольше, чем он летел во вторник во Владивосток; во вторник он летел в Москву на полчаса дольше, чем в среду во Владивосток, а в среду он летел в Москву на полтора часа дольше, чем в понедельник во Владивосток. Найдите среднее время, которое самолёт был в пути на маршруте Владивосток–Москва.

Сергей Петрович заблудился в лесу. Поблуждав, он вышел в точку $S$, где встречаются все лесные тропинки (см. рисунок). Он хочет выйти к посёлку ($A$) или на станцию ($B$), куда из точки $S$ ведут тропинки. Но есть ещё кольцевые тропинки, которые возвращаются в точку $S$. Сергей Петрович пробует тропинки в случайном порядке. При этом он запоминает, где ходил, поэтому если он прошёл по кольцевой тропинке, то второй раз по ней он уже не пойдёт — ни в ту, ни в другую сторону. Путь по каждой тропинке занимает ровно 20 минут. Какова вероятность того, что Сергей Петрович выйдет из леса ровно через 40 минут?

На рисунке справа изображена прямоугольная сетка $5\times 6$. Сколько всего существует прямоугольников, у которых вершины расположены в узлах сетки, а стороны лежат на линиях сетки? Один такой прямоугольник показан для примера.

Средним арифметическим числового набора называется отношение суммы всех чисел набора к количеству чисел в наборе.
Даны два числовых набора, у первого среднее арифметическое равно 2, а у второго среднее арифметическое равно 5. Докажите, что если объединить эти наборы, то среднее арифметическое получившегося набора будет больше 2, но меньше 5.

На турбазу приехали туристы. В первый день туристы знакомились и каждые двое независимо от прочих с вероятностью $p$ обменялись номерами мобильных телефонов. Утром второго дня туристы случайным образом разбились на две группы: в одной 6 человек, а в другой 7 человек. Одна группа ушла в пеший поход, а другая — в водный поход на байдарках. Найдите вероятность того, что группы смогут связаться друг с другом по телефону (внутри каждой группы туристы свободно общаются друг с другом, мобильные телефоны у всех работают, мобильная связь есть).

На новогоднем празднике у троих первоклассников на голове зелёные колпаки, а у шестерых — красные. Все девять встают в хоровод вокруг ёлки в случайном порядке. Найдите вероятность того, что никакие два первоклассника в зелёных колпаках не окажутся рядом.