МФТИ, письменный вступительный экзамен по математике

Окружность с центром на стороне $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB=BC$) касается сторон $AB$ и $BC$. Найти радиус окружности, если площадь треугольника $ABC$ равна $25$, а отношение высоты $BD$ к стороне $AC$ равно $\frac38$.

Выразить $\log_{600}900$ через $a$ и $b$, где $a=\log_52$ и $b=\log_23$.

Дана функция $f(x)=\frac{\sin^4x+\cos^4x}{\sin^6x+\cos^6x}$. Найти:
1) корни уравнения $f(x)=\frac{10}{7}$;
2) наибольшее и наименьшее значения функции $f(x)$.

Решить систему уравнений \[ \begin{cases} x^2+xy-2y^2+8x+10y+12=0,\\ x^2+3xy+2y^2-x+y-6=0. \end{cases} \]

В правильной треугольной пирамиде $ABCD$ сторона основания $ABC$ равна $a$. Внутри пирамиды расположен конус, окружность основания которого вписана в треугольник $ACD$, а вершиной конуса является точка $O$, лежащая на высоте $BE$ треугольника $ABC$ так, что $BE:OB=3$. Найти радиус основания конуса и радиус шара, касающегося конуса и трех граней пирамиды с общей точкой $B$.