МФТИ, письменный вступительный экзамен по математике

Решить систему уравнений \[\begin{cases}(x-2)(x+3)=y(y-5),\\ \log_x(2-y)=\dfrac{x}{y^2}.\end{cases}\]

Решить уравнение \[\sin x\sqrt{1-\cos x-2\sin x}=\sin x+\cos x.\]

Какая наименьшая площадь может быть у треугольника $AOC$, вершина $O$ которого лежит на катете $BC$ прямоугольного треугольника $ABC$ и является центром окружности радиуса $R$, касающейся гипотенузы $AC$ и проходящей через точку $B$?

Решить неравенство \[\dfrac{5}{6-3\sqrt{6-x-x^2}}-\dfrac{1}{x+1}\gt \dfrac{1}{1+|x+1|}.\]

Найти все значения параметра $a$, при которых система неравенств \[\begin{cases}x^2+2x-a\leqslant 0,\\ x^2-4x+6a\leqslant 0\end{cases}\] имеет единственное решение.

Вписанные окружности граней $SBC$, $SAC$ и $SAB$ треугольной пирамиды $SABC$ пересекаются и имеют радиусы $\sqrt3$, $\sqrt5$ и $\sqrt7$ соответственно. Точка $K$ является точкой касания окружностей со стороной $SA$, причем $SK=5$. Найти длину отрезка $AK$, периметр и радиус вписанной окружности треугольника $ABC$.