МФТИ, письменный вступительный экзамен по математике

Решить уравнение \[8\cos^2x\sin x+\cos x=\cos 3x+6\sin x.\]

Решить неравенство \[\dfrac{\sqrt{8x^3-6x+2}}{2x+1}\leqslant\sqrt{2x+3}.\]

Решить систему уравнений \[\begin{cases} \dfrac{x^2}{y^2}(1+y)=2x+3y,\\ x^2+2xy=x-y^2.\end{cases}\]

Пятиугольник $ABCDE$ описан около окружности. Известно, что $AB=BC$, $CD=DE$, $AE=6$, $AC=8$, $CE=7$. Найти радиус окружности, вписанной в пятиугольник, и угол $BCD$.

При каких значениях параметра $t$ система уравнений \[\begin{cases} (x-1-4t)^2+(y-1-3t)^2=9t^2,\\ (x-5)^2+(y-3)^2=4\end{cases}\] имеет единственное решение?

В основании призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит равнобокая трапеция $ABCD$ ($AD\parallel BC$). Сфера радиуса 3 с центром в плоскости $AA_1D_1D$ касается плоскостей $ABCD$, $A_1B_1C_1D_1$ и прямых $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $DD_1$. Известно, что $A_1D_1=7$, $BC=5$. Найти:

1. угол между прямыми $AD$ и $BB_1$;
2. двугранный угол между гранями $BB_1C_1C$ и $CC_1D_1D$;
3. объём призмы.