МФТИ, письменный вступительный экзамен по математике

Решить уравнение \[\sqrt{7-\sqrt6\operatorname{tg}x}+\sqrt7\cos x=0.\]

Решить систему уравнений \[\begin{cases} x^2+xy-2y^2+8x+10y+12=0,\\ x^2-y^2-7=0.\end{cases}\]

Решить неравенство \[\sqrt{\log_{(x+10)}(x^2-2x-8)}+\sqrt{\log_{(x^2-2x-8)}(x+10)^2}\leqslant1+\sqrt2.\]

Высота равнобедренной трапеции $ABCD$ равна 16, а её диагонали пересекаются в точке $O$. Окружность радиуса 3 с центром в точке $O$ касается меньшего основания $BC$ и боковой стороны $CD$ трапеции. Найти основания трапеции.

Найти все значения параметра $a$, при которых уравнение \[\left|ax^2+3\right|=|2ax|+|3a|\] имеет хотя бы одно действительное решение.

В основании пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$, причём $AB=1$, $BC=2$. Пусть $N$ — середина $SB$, $M$ — середина $SC$, причём $BN=MC=3MN$. Каким может быть минимальный радиус сферы, описанной около пирамиды $SABCD$? Найти объём пирамиды $SABCD$, вписанной в эту сферу (минимального радиуса).