МФТИ, письменный вступительный экзамен по математике

Решить уравнение \[\log_{\left(x+\frac13\right)}\sqrt[3]{x^3+\dfrac13}+\log_{\left(x^3+\frac13\right)}\left(x+\dfrac13\right)=\dfrac43.\]

Решить неравенство \[\sqrt{\dfrac{8-\frac{x}{9}}{2-\frac{x}{4}}}\leqslant x-2.\]

Решить уравнение \[\dfrac{\operatorname{tg}x}{2}+\dfrac{1}{\sin x}=\dfrac{1}{\sin3x}-\dfrac{\operatorname{ctg}x}{2}.\]

В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ равны $a$ и $b$ соответственно, угол $BCD$ равен $\alpha$. Окружность, проходящая через точки $B$, $C$ и $D$, касается прямой $AB$. Найти радиус этой окружности.

Решить систему уравнений \[\begin{cases} \sqrt{x^2+y^2-16x+64}+\sqrt{x^2+y^2+12y+36}=10,\\ 5x^2-8y^2=8.\end{cases}\]

Грани $ABC$ и $ABD$ пирамиды $ABCD$ ортогональны и являются равными равнобедренными треугольниками с общим основанием $AB$. Известно, что $AB=1$, $CD=2$. Найти угол между прямыми $AC$ и $BD$, расстояние между прямыми $AC$ и $BD$ и радиус сферы, описанной вокруг пирамиды $ABCD$.