Московская математическая олимпиада

На совместный симпозиум лжецов (всегда лгут) и правдолюбов (всегда говорят правду) собрались 100 участников, среди которых не все лжецы и не все правдолюбы. Каждые два участника либо знакомы, либо незнакомы друг с другом. Каждый ответил «да» или «нет» на вопрос «Знакомы ли вы?» про каждого из остальных. Какое наименьшее количество ответов «да» могло быть получено?

Можно ли расставить в вершинах и в серединах рёбер правильного октаэдра по одному натуральному числу от 1 до 18 так, чтобы все числа были различны, а в каждой вершине стояло число, равное сумме четырёх чисел, стоящих в серединах исходящих из этой вершины рёбер?

Пусть $I$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$. На сторонах $AC$ и $AB$ взяли точки $K$ и $L$ соответственно так, что прямая $IK$ перпендикулярна $CI$, а $KL$ параллельна $BI$. Докажите, что треугольник $LKI$ — равнобедренный.

Петя и Вася играют в следующую игру. Сначала они пишут по единице, каждый на своей доске. Далее они по очереди (начинает Петя) заменяют каждый своё число, умножая его либо на 2, либо на 3, причём после каждого хода числа, записанные на досках, должны быть различными. Пусть $a$ — количество натуральных делителей числа Пети после его 100-го хода, а $b$ — количество натуральных делителей числа Васи после его 100-го хода. По итогам игры Петя получает $|a-b|$ фантиков. При каком наибольшем натуральном $n$ Петя может действовать так, чтобы гарантированно получить не менее $n$ фантиков вне зависимости от действий Васи?

В гостинице $a\gt 1$ этажей, на каждом этаже $b$ одноместных номеров. На математический конгресс приехало $ab$ математиков. Оказалось, что каждому математику на каждом этаже нравится ровно один номер. Докажите, что число способов поселить всех математиков в гостиницу так, чтобы каждому нравился его номер, чётно.

Максим загадал многочлен $P(x)$ с вещественными коэффициентами. За один ход Надя может назвать любой многочлен $Q(x)$ с вещественными коэффициентами, а ответ Максим должен сообщить Наде следующие два факта:
1) достигается ли максимальное значение $P+Q$, и если да, то чему оно равно;
2) достигается ли минимальное значение $P+Q$, и если да, то чему оно равно.
Надя хочет последовательно сделать несколько таких ходов, а затем назвать такое вещественное число $t$, что $|P(2026)-t|\lt 10^{-100}$. Докажите, что Надя может действовать так, чтобы гарантированно добиться желаемого. (Надя сама решает, когда ей перестать задавать вопросы).

В основании выпуклой четырёхугольной пирамиды $SABCD$ лежит четырёхугольник $ABCD$, диагонали которого перпендикулярны, а никакие две стороны не равны. Известно, что вписанные сферы тетраэдров $SABC$ и $SACD$ касаются. Докажите, что вписанные сферы тетраэдров $SABD$ и $SBCD$ касаются.