Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»

Сколько существует четырёхзначных чисел, делящихся на 4, в десятичной записи которых нет цифр 4, 5, 6, 8?

Вася и Петя одновременно выбежали с места старта круговой беговой дорожки и побежали в противоположных направлениях с постоянными скоростями. В некоторый момент они встретились. Вася пробежал полный круг и, продолжая бег в том же направлении, добежал до места их первой встречи в тот момент, когда Петя пробежал полный круг. Найдите отношение скоростей Васи и Пети.

Решите неравенство \[\sqrt{x-x^2+2}+x^2\gt 4-5|x-2|.\]

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Сумма площадей треугольников $AOB$ и $COD$ равна сумме площадей треугольников $BOC$ и $AOD$, а площадь треугольника $BOC$ вдвое больше, чем площадь треугольника $AOB$. Медианы $BK$ и $BL$ треугольников $ABD$ и $DBC$ пересекают отрезок $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найти $KL$, если $NC=4$.

Рассматриваются плоские сечения правильной пирамиды $SABCD$, параллельные боковому ребру $SB$ и диагонали основания $AC$, в которые можно вписать окружность. Какие значения может принимать радиус этих окружностей, если $AC=1$, $\cos\angle SBD=\frac{2}{3}$?