Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»

Лаборатория Альфа на покупку пяти микроскопов, четырёх телескопов и эпидиаскопа потратила 140 тыс. руб. Лаборатория Бета на покупку шести микроскопов, пяти телескопов и эпидиаскопа потратила 167 тыс. руб. Сколько потратит лаборатория Гамма на покупку трёх микроскопов, двух телескопов и эпидиаскопа, если известно, что цены у всех поставщиков одинаковы?

Решите неравенство \[\arccos\left(4x^2-8x+3\right)+2\arcsin(x-1)\lt 0.\]

Координаты точки удовлетворяют соотношению $xy+yz+zx=4$. На каком расстоянии от плоскости $z=-3$ может лежать эта точка, если известно, что расстояние от этой точки до начала координат равно двум?

Найдите координаты общих точек графиков функций \[f(x)=\left|5x^2+6x-\frac{2}{x}\right|+\left|3x^2-2\sqrt{x}-9-\frac{5}{x}\right|\quad\text{и}\quad g(x)=2x^2+2\sqrt{x}+21-\frac{3}{x}.\]

Последовательность выпуклых четырёхугольников \[P_1Q_1R_1S_1,\quad P_2Q_2R_2S_2,\quad\ldots,\quad P_{2012}Q_{2012}R_{2012}S_{2012}\] такова, что вершины четырёхугольника $P_{n+1}Q_{n+1}R_{n+1}S_{n+1}$ являются серединами сторон четырёхугольника $P_nQ_nR_nS_n$ ($n=1,2,\ldots,2011$).
а) Может ли отношение периметров четырёхугольников $P_{2012}Q_{2012}R_{2012}S_{2012}$ и $P_1Q_1R_1S_1$ равняться $32\cdot10^{-303}$?
б) Найдите все возможные значения этого отношения.