Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»

Рассеянный Вася на полпути от школы до дома обнаружил, что оставил в школе портфель. В этот момент он встретил двух друзей. Первый был на мотоцикле и мог отвезти Васю до школы, но тогда бы домой Васе нужно было идти пешком. Второй был на велосипеде и мог отвезти Васю до школы и обратно до самого дома, но прежде, чем посадить пассажира на велосипед, ему нужно было подкачать колёса. За время подкачки колёс мотоциклист как раз доедет до школы. С кем из друзей поехать Васе, чтобы взять портфель и как можно быстрее попасть домой, если он проходит половину пути от школы до дома за то же время, за которое велосипедист проезжает $7/9$ этого пути?

Решите неравенство \[\bigl||2+x-x^2|-|x+1|\bigr|\geqslant|x^2-2x-3|.\]

В четырёхугольнике $ABCD$ угол $A$ равен $88^\circ$, угол $B$ равен $122^\circ$, $CD=2$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $CKD$, где $K$ — точка пересечения биссектрис углов $C$ и $D$, и сравните этот радиус с 1,04.

Решите уравнение \[\frac{27x-24}{2x+\sqrt{4x^2-3}}-\frac{36x-32}{\sqrt{4x^2-3}+\sqrt{4x^2+1}}=9x^2-26x+16.\]

Пусть $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_{2012}$ — арифметическая прогрессия с разностью $d$, причём $\cos\alpha_k\neq 0$ для всех $k=1,2,\ldots,2012$ и \[\frac{1}{\cos\alpha_1\cdot\cos\alpha_2}+\frac{1}{\cos\alpha_2\cdot\cos\alpha_3}+\ldots+\frac{1}{\cos\alpha_{2011}\cdot\cos\alpha_{2012}}=0.\] Найдите все возможные значения $d$, не превосходящие по модулю $\pi$.