Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»

Дана бесконечная числовая последовательность $a_1, a_2, \ldots$, о которой известно следующее: $a_1=20$, $a_{n+1}=a_na_{n+2}$, $n\in\mathbb{N}$. Найдите все значения, которые может принимать $a_{2014}$.

Треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром в точке $O$. Биссектрисы внутренних углов треугольника при вершинах $A$ и $B$ пересекают описанную окружность в точках $A_1$ и $B_1$ соответственно. Угол между биссектрисами равен $60^\circ$. Длина стороны $AB$ равна 3. Найдите площадь треугольника $A_1B_1O$.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых среди решений уравнения \[\left(a^4+2014a^3+2014a^2+2014a+2013\right)x=a^3+3a^2-6a-8\] есть неотрицательные числа.

Решите уравнение \[\frac{\cos5x+\cos x}{\cos4x+\cos2x}=\frac{1+\cos4x}{\cos x}\,.\]

На основании прямого кругового конуса расположены три попарно касающихся друг друга шара одинакового радиуса. Каждый из них касается также боковой поверхности конуса. Четвёртый шар того же радиуса касается первых трёх и боковой поверхности конуса. Найдите объём конуса, если радиус окружности, образованной точками касания четвёртым шаром боковой поверхности конуса, равен $\sqrt2$.