Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»

Решите неравенство \[ \sqrt{9-x}\cdot\left|x^2-1\right|\leqslant\sqrt{9-x}\cdot\left|x^2-10x+13\right|. \]

Два брата родились в один день, но в разные годы. Оказалось, что в 2014 году каждому из них исполнилось столько лет, какова сумма цифр его года рождения. Определите год рождения каждого из братьев.

Решите уравнение \[ 6\cos 9x\cos 2x=1+3\cos 11x+2\cos^3 7x. \]

В треугольной пирамиде $SABC$ рёбра $SA$, $SB$ и $SC$ не длиннее, чем 3, 4 и 5 соответственно, а площади граней $SAB$, $SAC$ и $SBC$ не меньше, чем 6, $15/2$ и 10 соответственно. Найдите объём пирамиды $SABC$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система \[ \begin{cases} y-a^2+5(a-1)=(a^2-5a+6)(x-3)^6+\sqrt{(x-3)^2}, \\ x^2+y^2=2(3x-4) \end{cases} \] имеет ровно одно решение.