Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»

Найдите все пары натуральных чисел $x$, $y$, удовлетворяющие уравнению \[ 3xy-y+3x=1008. \]

В треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны соответственно 3 и 1. Биссектриса $BD$ равна $\sqrt2$. Найдите угол $BAC$.

Общий вес рюкзаков двух туристов за время похода уменьшился на $12\frac13\%$. При этом вес рюкзака первого туриста уменьшился на 15%, а вес рюкзака второго — на 10%. Известно также, что в конце похода рюкзак второго туриста весил на 1,2 кг больше, чем рюкзак первого туриста в начале похода. Определите первоначальный вес рюкзаков каждого из туристов.

Решите неравенство \[ \log_{\frac{4-x^2}{3}}\dfrac{2}{3x^2+x}\geqslant -1. \]

Для каждого значения $a$ решите уравнение \[ 4-\sin^2 x+\cos 4x+\cos 2x+2\sin 3x\sin 7x-\cos^2 7x-\cos^2\pi a=0. \]