Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»

Для некоторого натурального $k$ десятичная запись числа $k^2+6k$ заканчивается цифрой 6. Найдите все значения, которые может принимать предпоследняя цифра этой записи.

Решите неравенство \[\frac{\sqrt{x}-\frac{4}{\sqrt{x}}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}-\frac{3}{\sqrt{x}}}}\geqslant1.\]

Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен $2/\sqrt5$. Через середины одного катета и гипотенузы провели окружность, касающуюся другого катета. Найдите отношение части гипотенузы, лежащей внутри получившегося круга, ко всей гипотенузе.

Решите уравнение \[\sin^2\left(\frac{2013x}{2}\right)\cdot\cos^2(2014x)\cdot\sin^2\left(\frac{2015x}{2}\right)=1.\]

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение \[2^{\frac{(x+1)^2}{x^2+1}}+a^2-4=2a\cos\left(\frac{x^2-1}{2x}\right)\] имеет единственное решение.