Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»

Найдите такое наименьшее натуральное число, что его половина есть пятая степень некоторого целого числа, а пятая часть есть квадрат некоторого целого числа.

Найдите сумму $\frac1x+\frac1y+\frac1z$, если известно, что три различных действительных числа $x$, $y$ и $z$ удовлетворяют условиям: \[ x^3+1009=2018x,\quad y^3+1009=2018y,\quad z^3+1009=2018z. \]

Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости системой \[ \begin{cases} 3^{\sqrt x}-3^{2\sqrt y}\geqslant 2\sqrt y-\sqrt x,\\ x^2+y^2\leqslant 9+2xy. \end{cases} \]

Вычислите \[ \operatorname{tg}\left(\operatorname{arctg}\frac{2-1}{2^3-1}+\operatorname{arctg}\frac{3-1}{3^3-1}+\ldots+\operatorname{arctg}\frac{100-1}{100^3-1}\right). \]

Развёртка боковой поверхности усечённого конуса с образующей, равной 12, представляет собой часть кругового кольца с центральным углом $\frac{2\pi}{3}$. Найдите радиусы оснований этого усечённого конуса, если площадь его поверхности равна площади полного кругового кольца.