Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»

Решите неравенство \[ \frac{1}{\sqrt{x^2-x-2}-2}\leqslant\frac{2}{\sqrt{x^2+14x+40}-4}. \]

Число в семеричной системе счисления является трёхзначным. В системе счисления с основанием 11 оно записывается теми же тремя цифрами, но в обратном порядке. Какова его запись в десятичной системе счисления? Найдите все возможные значения.

Решите уравнение \[ 6\operatorname{tg}x-\operatorname{tg}2x+5\operatorname{ctg}3x=0. \]

В окружности радиуса $5\sqrt2$ проведены взаимно перпендикулярные хорды, которые точкой пересечения делятся в отношении $6:1$ и $2:3$. Найдите расстояние от центра окружности до точки пересечения хорд.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых сумма длин промежутков, составляющих множество (возможно, пустое) решений неравенства \[ \log_2\left(x^2+4ax+4a^2-a\right)\lt 2, \] меньше 2.