Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»

Все 11-классники спецшколы разделены на три отдельные категории: физики, химики и биологи. На каждых двоих биологов приходится 5 человек, считающихся физиками или химиками, а на каждых троих физиков приходится 7 человек, считающихся химиками или биологами. Найдите количество химиков, если 11-классников в школе не более 100.

Решите неравенство \[ \sqrt2\cos2x\geqslant\sin x-\cos x. \]

Найдите все возможные значения величины \[ T=\frac{f(t)-f(0)}{f(t^2)+f(t)-2f(0)+2}, \] если $f(2x+y)-f(x+y)=2x$ для всех действительных значений $x$ и $y$.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ на высоте $BH$, равной основанию $AC$, как на диаметре, построена окружность, пересекающая боковую сторону $BC$ в точке $F$. Каково отношение площади треугольника $FCH$ к площади треугольника $ABC$? Какая часть площади треугольника $ABC$ находится внутри окружности?

Решите уравнение \[ x^2+8\{x+4\}-9=0, \] где $\{a\}$ — дробная часть числа $a$.