Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»

Найдите десятичную запись числа \[ \frac{(2x-x^2)\cdot10^6}{33}+\left(\sqrt[3]{2}+1\right)\left(\sqrt[3]{\frac{\sqrt[3]{2}-1}{3}}\right), \] если $x=0{,}9999$.

Числа $\frac{1}{17}$, $\frac{1}{15}$, $\frac{1}{13}$ являются членами арифметической прогрессии с возрастающими номерами. Каково наибольшее значение разности этой прогрессии?

При всех значениях $a\in\mathbb R$ решите неравенство \[ \arccos\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)+(x-a)^2\leqslant 2\operatorname{arctg}x. \]

В треугольнике $ABC$, $\angle A=2\alpha$, биссектрисы $BD$ и $CE$ пересекаются в точке $I$. Найдите наименьший возможный радиус окружности, описанной около треугольника $DEI$, если сумма длин отрезков $DI$ и $EI$ равна $2d$.

При каких значениях $n=1,2,\ldots,9$ уравнение \[ \left(\log_2^2\sin\left(\pi x+\frac{7\pi n}{6}\right)+\log_2\sin\left(\pi x+\frac{7\pi n}{6}\right)+0{,}5\right)\cdot\log_2\left(9\cdot3^{4x^2-6x}-2\cdot3^{2x^2-3x+2}+17\right)=3\log_2\sin\left(\pi x+\frac{7\pi n}{6}\right)+1{,}5 \] имеет решение?