Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»

Натуральные числа, начиная с 20, выписали в одну строку: $20212223\ldots$ Какая цифра стоит в получившейся последовательности цифр на 2021 месте?

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение \[ |x|-\arcsin x+b\cdot(\arccos x+|x|-1)+a=0 \] при любом значении $b$ имеет хотя бы одно решение.

Сколько корней имеет уравнение \[ 2^{\lg\left(x^2-3\right)}=\lg 2^{x^2-2}? \]

Решите систему \[ \begin{cases} 2x-3y+\dfrac{1}{xy}=6,\\ 3z-6x+\dfrac{1}{xz}=2,\\ 6y-2z+\dfrac{1}{yz}=3. \end{cases} \]

Бумажный квадрат площади 17 согнули по прямой, проходящей через его центр, после чего соприкасающиеся части склеили. Найдите максимально возможную площадь получившейся бумажной фигуры.