Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»

Монету бросили $2021$ раз. Какова вероятность, что выпадет четное количество «орлов»?

Иван Семенович каждый день выезжает в одно и то же время, едет на работу с одной и той же скоростью и приезжает ровно в 9:00. Однажды он проспал и выехал на 40 мин. позднее обычного. Чтобы не опоздать, Иван Семенович поехал со скоростью на $60\%$ большей, чем обычно и приехал в 8:35. На сколько процентов он должен был увеличить обычную скорость, чтобы приехать ровно в 9:00?

Сравните числа $\dfrac{100}{101}\times\dfrac{102}{103}\times\ldots\times\dfrac{1020}{1021}\times\dfrac{1022}{1023}$ и $\dfrac{5}{16}$.

Английский клуб посещают $20$ джентльменов. Некоторые из них знакомы (знакомства взаимные, т. е. если $A$ знает $B$, то и $B$ знает $A$). Известно, что в клубе нет трех попарно знакомых между собой джентльменов. Однажды джентльмены пришли в клуб, и каждая пара знакомых пожала друг другу руки (один раз). Какое наибольшее число рукопожатий могло быть сделано?

Ольга Ивановна, классная руководительница 5Б, ставит «Математический балет». Она хочет расставить мальчиков и девочек так, чтобы на расстоянии $5$ м от каждой девочки было ровно $2$ мальчика. Какое наибольшее количество девочек сможет участвовать в балете, если известно, что в нем участвуют $5$ мальчиков?

Космический зонд, двигаясь прямолинейно с постоянной скоростью, пролетает мимо Марса и каждый день ровно в 12:00 замеряет расстояние до этой планеты. Известно, что 1-го февраля расстояние было $5$ млн. км, 10-го февраля — $2$ млн. км и 13-го февраля — $3$ млн. км. Определите, когда зонд пройдет на минимальном расстоянии от Марса. В этой задаче Марс можно считать точкой.

Дан многочлен $P(x)$, не равный нулю тождественно. Известно, что при всех $x$ выполняется тождество $(x-2020)\cdot P(x+1)=(x+2021)\cdot P(x)$. Сколько корней имеет уравнение $P(x)=0$?