Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»

Какое число окажется на 2022-м месте в бесконечной последовательности $12, 13, 14, 15, 16, 17, \ldots$, если в ней удалить все квадраты и кубы каких-либо натуральных чисел (то есть удалить числа $16=4^2$, $25=5^2$, $27=3^3$, $\ldots$)?

Решите неравенство \[ \left(18x^3-9x^2-2x+1\right)\cdot\arccos(-2x-1)\geqslant\arccos\left(\frac{1}{4\sin50^\circ}+\frac{\sqrt3}{4\sin40^\circ}\right). \]

Найдите количество натуральных делителей наибольшего целого значения выражения \[ xyz+xy+yz+zx+2023, \] если сумма неотрицательных чисел $x$, $y$ и $z$ равна 2022.

Среди всех вписанных четырёхугольников найдите четырёхугольник $ABCD$ с наименьшим периметром, в котором $BC=CD=AD$ и все попарные расстояния между точками $A$, $B$, $C$ и $D$ выражаются целыми числами. Чему равна площадь этого четырёхугольника?

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых множество решений неравенства \[ \left|x^3+2x^2+x-a\right|+\left|x^3-2x^2+x+a\right|\lt 4x^2-8x \] представляет собой на числовой прямой промежуток длиной 2.