Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»

В турнире по волейболу участвовало 20 команд. Каждая команда играла со всеми остальными по одному разу, за выигрыш начислялось 3 очка, за проигрыш очки не начислялись (ничьих в волейболе нет). Очки, набранные командами, образуют убывающую арифметическую прогрессию. Сколько очков набрала команда, занявшая второе место?

Даны лежащие в одной плоскости две трапеции $ABCD$ и $AEFD$ с общим основанием $AD=6$ и одинаковыми высотами, равными $8$. При этом $BC=EF=2$, расстояние между точками $C$ и $E$ равно $1$. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$, а сторон $AE$ и $DF$ — в точке $Q$. Найдите площадь четырехугольника $APQD$.

Решите неравенство \[ 2\log_4^2(x+3)\cdot\log_9^2(x+8)\leqslant\log_3(x+3)\cdot\log_2(x+8)-2. \]

Множество $A$ состоит из натуральных чисел $n$, делящихся на $[\sqrt[3]{n}]$. Здесь $[x]$ — целая часть числа $x$, то есть наибольшее целое число, не превышающее $x$. Найдите количество чисел из отрезка $[25,2025]$, принадлежащих множеству $A$.

Найдите все положительные $a$, при каждом из которых неравенство \[ \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{a\sqrt{xy}}{x+y}\geqslant\dfrac{a}{2}+2 \] выполняется при всех положительных $x$ и $y$.

Отрезок $AB=1$ лежит на прямой $l$ и пересекается с отрезком $CD=m$ в точке $O$, причём \[ CO:OD=k,\quad \angle AOC=60^\circ,\quad AC\neq BD. \] Для каких пар чисел $m$ и $k$ отрезок $AB$ можно передвинуть по прямой $l$ так, чтобы в его новом положении выполнялось равенство $AC=BD$?