Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»

Из последовательности натуральных чисел $1, 2, 3, \ldots$ удалили все точные квадраты (квадраты целых чисел). Какое число будет находиться на $2600$ месте среди оставшихся?

Назовём натуральное число «удивительным», если все его цифры попарно различны и их сумма равна $18$. Найдите сумму удивительнх чисел, не превосходящих $999$.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см построен многоугольник $ABCDEFGH$ (см. рис.). Назовём прямоугольной ломаную, проходящую по линиям сетки и не проходящую два раза через одну и ту же точку. Постройте прямоугольную ломаную наибольшей длины с концами в точках $K$ и $L$, не выходящую за границу $ABCDEFGH$ (по самой границе ломаная может проходить). В ответе укажите длину ломаной в сантиметрах.

Назовём число $x$ «$50$-подпирающим», если для любых $50$ действительных чисел $a_1, \ldots, a_{50}$, сумма которых является целым числом, найдётся хотя бы одно, для которого $\left|a_i-\frac12\right|\geqslant x$.
В ответе укажите наибольшее $50$-подпирающее число $x$, округлённое до сотых по стандартным математическим правилам.

Последовательность $a_n$ задана следующим образом: \[ a_1=1,\quad a_{n+1}=a_n+\dfrac{2a_n}{n}\quad (\text{при } n\geqslant 1). \] Найдите $a_{999}$.

Назовём «зазубриванием» следующую операцию над многоугольником.
а) Каждую сторону многоугольника делим на три равные части.
б) Среднюю часть выбираем в качестве основания равностороннего треугольника, расположенного снаружи многоугольника.
в) Удаляем основание и добавляем две другие стороны.
Пусть $M_0$ — равносторонний треугольник, $M_1$ — многоугольник, полученный путём зазубривания $M_0$, $M_2$ получен зазубриванием $M_1$ (см. рисунок), $\ldots$, $M_{2018}$ получен зазубриванием $M_{2017}$.
Найдите $S(M_{2018})$, если известно, что $S(M_0)=4$. В ответе укажите значение $S(M_{2018})$, округлённое до сотых.