Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»

Натуральные числа, у которых сумма цифр равна 5, упорядочили по возрастанию. Какое число стоит на $122$-м месте?

Школьный тренер решил наградить $12$ школьников, которые пробежали дистанцию за лучшее время. Каждого из них надо наградить «золотой», «серебряной» или «бронзовой» медалью. Надо использовать все три типа медалей, причём того, кто пришел к финишу раньше, нельзя награждать менее ценной медалью, чем того, кто пришел позже.
Сколькими способами тренер может распределить медали (время у всех бегунов разное)?

На прямой расположены $16$ точек $A_1, \ldots, A_{16}$, идущие с промежутками 1 см. Миша строит окружности по следующим правилам.
а) Окружности не пересекаются и не касаются.
b) Внутри каждой окружности есть по крайней мере одна из указанных точек $A_1, \ldots, A_{16}$.
c) Ни одна из этих точек не лежит на окружности.
d) Различные окружности содержат внутри себя различные наборы точек. Т. е., например, если какая-то окружность содержит точки $A_1$ и $A_2$ внутри, а остальные снаружи, то вторую окружность, содержащую только $A_1$ и $A_2$ внутри, построить уже нельзя.
Какое наибольшее количество окружностей Миша сможет построить по этим правилам?

Назовём число $x$ «$50$-подпирающим», если для любых $50$ действительных чисел $a_1, \ldots, a_{50}$, сумма которых является целым числом, найдётся хотя бы одно, для которого $\left|a_i-\frac12\right|\geqslant x$.
В ответе укажите наибольшее $50$-подпирающее число $x$, округлённое до сотых по стандартным математическим правилам.

Последовательность $a_n$ задана следующим образом: \[ a_1=2,\quad a_{n+1}=a_n+\dfrac{2a_n}{n}\quad (\text{при } n\geqslant 1). \] Найдите $a_{999}$.

Назовём «зазубриванием» следующую операцию над многоугольником.
а) Каждую сторону многоугольника делим на три равные части.
б) Среднюю часть выбираем в качестве основания равностороннего треугольника, расположенного снаружи многоугольника.
в) Удаляем основание и добавляем две другие стороны.
Пусть $K_0$ — квадрат со стороной $2{,}5$, $K_1$ — многоугольник, полученный путём зазубривания $K_0$, $K_2$ получен зазубриванием $K_1$ (см. рисунок), $\ldots$, $K_{2018}$ получен зазубриванием $K_{2017}$.
Найдите площадь $S(K_{2018})$. Ответ округлите до сотых по стандартным математическим правилам.