Олимпиада «Росатом»

Петя и Вася пригласили одноклассников на свой день рожденья в дом Пети и посадили всех за круглый стол пить чай. Петя отметил для себя наименьшее число стульев, разделяющих его с каждым из приглашенных гостей, кроме Васи. Сложив полученные числа, он получил $60$. Найти число стульев за столом, если известно, что оно четное. Какое наименьшее число стульев разделяло Петю и Васю?

Решить уравнение \[ \left(\sin^45x+1\right)\left(\sin^43x+1\right)=4\sin^25x\cdot\sin^23x. \]

Найти все целые решения уравнения \[ \sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\left(\sqrt2-1\right)^{2022}. \]

Решить уравнение \[ \left(\log_2x+\sqrt{\log_2^2x+1}\right)\left(\log_2(x-2)+\sqrt{\log_2^2(x-2)+1}\right)=1. \]

На клетках шахматной доски размером $8\times8$ случайным образом расставлены $4$ одинаковых фигуры. Найти вероятность того, что три из них будут находиться либо на одной горизонтали, либо на одной вертикали, либо на одной из двух главных диагоналей.

На ребре $AC$ основания треугольной пирамиды $ABCD$ расположена точка $M$ так, что $AM:MC=1:2$. Через середину ребра $BC$ основания пирамиды проведена плоскость $P$, проходящая через точку $M$ и параллельная боковому ребру $CD$. В каком отношении плоскость $P$ делит объем пирамиды?