Олимпиада «Росатом»

Многочлен $P(x)$ с целыми коэффициентами удовлетворяет условию $P(17)=P(23)=2023$. Найти наименьшее возможное при этих условиях значение $P(0)\gt 0$.

Решить уравнение \[ \log_{\sin x}\sin2x+\log_{\sin2x}\sin3x+\log_{\sin3x}\sin x=\log_{\sin2x}\sin x+\log_{\sin3x}\sin2x+\log_{\sin x}\sin3x. \]

Найти приведенный многочлен $P(x)$ (коэффициент при старшей степени $x$ равен $1$), для которого справедливо тождество $xP(x-1)=(x-3)P(x)$ по переменной $x$.

При каких тройках чисел $(x;y;z)$, удовлетворяющих системе \[ \begin{cases} \sin x-\sin y=y-x,\\ \sin y-\sin z=y-z, \end{cases} \] выражение $\left|\dfrac{z}{1+xy}\right|$ принимает наибольшее возможное значение?

Петя записывает на листе бумаги строчку из $7$ нулей и $20$ единиц, расположенных в совершенно случайном порядке. Найти математическое ожидание случайной величины — числа нулей, записанных до появления первой единицы.

Длина стороны $AD$ четырехугольника $ABCD$, вписанного в окружность, равна $5$. Точка $M$ делит эту сторону в отношении $AM:MD=1:4$, а прямые $MC$ и $MB$ параллельны сторонам $AB$ и $CD$ соответственно. Найти длину стороны $BC$ четырехугольника.