Олимпиада «Росатом»

У Пети в семье, помимо папы, мамы и бабушки, есть еще братья и сестры. Средний возраст папы, мамы и бабушки на $20$ лет больше среднего возраста детей и на $10$ лет больше среднего возраста всех членов семьи. Сколько сестер у Пети?

Решите уравнение \[ 2\sin\pi x=\left[\lg\dfrac{2^x}{10}\right]-\left[\lg\left[2^x\right]\right]. \] Здесь $[a]$ — целая часть числа $a$ — наибольшее целое число, не превосходящее $a$.

Натуральное число $n\geqslant2024$ имеет простой делитель $p\gt 3$ и другой делитель $q$, связанный с $p$ соотношением $(p-1)(q+3)=n-3$. Найдите наименьшее возможное при этих условиях число $n$.

Область $G$ на плоскости, ограниченная двумя параболами $y=-2x^2+x$ и $y=x^2+px+q$, имеет площадь $112$. Вертикальная прямая $x=2$ разбивает ее на две равновеликие части. Найдите $p$ и $q$.

На графике приведенного квадратного трехчлена с целыми коэффициентами отмечены две точки с целочисленными координатами. Найдите расстояние между этими точками, если известно, что оно выражается целым числом, а дискриминант квадратного трехчлена равен $4$.

Медианы оснований треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ пересекаются в точках $O$ и $O_1$ соответственно. На отрезке $OO_1$ взята точка $P$ так, что $O_1P:PO=1:3$. Через точку $P$ проведена прямая параллельная диагонали $A_1C$ боковой грани призмы. Найдите длину отрезка этой прямой, расположенного внутри призмы, если длина диагонали $A_1C$ равна $2$.