Олимпиада «Шаг в будущее»

Решите систему уравнений \[ \begin{cases} 2y^2-3x=4x^3y,\\ y^2+4x^2y^3=4x. \end{cases} \]

Число $b$ таково, что неравенство $\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_3}{a_4}+\frac{a_5}{a_6}+\frac{a_7}{a_8}\geqslant b$ выполняется для всех натуральных чисел $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7, a_8$, удовлетворяющих неравенствам $a_n\leqslant a_{n+1}$, $n=1,\ldots,8$, $a_8\leqslant 81$. Найдите наибольшее значение $b$.

Дан треугольник $ABC$ с углом $B$, равным $60^\circ$. На продолжениях сторон $AB$, $CB$ за точку $B$ взяты точки $K$, $L$ соответственно так, что $BK:AB=2:1$, $BL:CB=3:1$. На продолжении медианы $BM$ за точку $M$ взята точка $N$, причем $BN:BM=6:1$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если площадь треугольника $KLN$ равна $126\sqrt3$, а расстояние от точки $M$ до точки касания вписанной в треугольник $ABC$ окружности со стороной $AC$ равно 1.

Найдите все значения параметра $a$, при которых неравенство \[ \dfrac{3}{(x-1)^3}+\dfrac{6-a}{(x-1)^2}-\dfrac{5a}{x-1}+a^2\leqslant 0 \] не выполняется ни для одного $x$ из интервала $(1;2)$. Укажите решения неравенства при найденных значениях параметра $a$.

Боковые ребра $TA$, $TB$, и $TC$ тетраэдра $TABC$ попарно перпендикулярны, ребро $TA$ наклонено к плоскости основания $ABC$ под углом $30^\circ$. Пусть $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC$, косинус угла $AHB$ равен $-1/3$. Найдите угол между ребром $TC$ и плоскостью $ABC$.

Для производственного процесса необходимо изготовить лекало из металлической пластины-заготовки, которая имеет форму прямоугольной трапеции. В заготовке имеется технологическое отверстие, которое можно принять за точку, расположенную в 2 см от меньшей боковой стороны, имеющей длину 4,5 см, и в 0,5 см от большего основания трапеции. Длины оснований трапеции равны 1,5 см и 6 см. Требуется провести на пластине кривую линию разреза так, чтобы расстояние от любой точки этой линии до большего основания трапеции было бы равно расстоянию от этой точки до технологического отверстия. Определите, в каком отношении линия разреза делит каждую из боковых сторон пластины.