Олимпиада «Шаг в будущее»

Пусть $a$, $b$, $c$ — корни многочлена \[ P(x)=x^3+x^2-2x-1. \] Найдите $a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2$.

Даны 5 карточек с буквами Л, И, М, О, Н и ещё $n$ карточек с буквой А. Найдите все $n$, при которых вероятность того, что из 4 случайно выбранных карточек будет можно сложить слово ЛАМА, получится максимальной.

Четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB=3$, $BC=4$, $CD=6$ и $AD=2$ вписан в окружность. Прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$, а прямые $BC$ и $AD$ пересекаются в точке $F$. Биссектриса угла $CFD$ пересекает стороны $AB$ и $CD$ в точках $K$ и $L$ соответственно, а биссектриса угла $BEC$ пересекает стороны $AD$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите длину отрезка $EF$ и площадь четырёхугольника $KMLN$.

Найдите все значения параметра $a$, при которых система \[ \begin{cases} |x-a|+|y-a|+|a-x+1|+|a-y+1|\leqslant 2,\\ y+2\left|x^2-2x-3\right|=6 \end{cases} \] имеет единственное решение.

В правильной усечённой четырёхугольной пирамиде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ сторона нижнего основания $ABCD$ равна 4, верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$ равна 1, точка $O$ — центр основания $ABCD$. Поверхность многогранника $\Phi$ состоит из квадрата $ABCD$, боковых граней пирамиды $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и боковых граней пирамиды $OA_1B_1C_1D_1$. Найдите площадь сечения многогранника $\Phi$ плоскостью, содержащей прямые $AB$ и $C_1D_1$, если расстояние от точки $D$ до плоскости сечения равно $\dfrac{8\sqrt{14}}{9}$.

Дизайнер спроектировал офисное помещение с основанием в виде прямоугольного треугольника $ABC$, угол $C$ прямой. С помощью потолочного освещения помещение разбито на зоны следующим образом: большой светильник $P$ освещает площадь $S$, ограниченную окружностью, которая вписана в треугольник $ABC$. Если к этой окружности провести внутри треугольника $ABC$ касательные, параллельные сторонам комнаты, то получатся ещё три треугольника при вершинах $A$, $B$ и $C$, в которые можно вписать маленькие окружности, ограничивающие площади $S_A$, $S_B$, $S_C$. Эти площади освещаются дополнительными светильниками $P_A$, $P_B$, $P_C$. Найдите радиусы всех окружностей и освещённость каждой зоны, если площадь треугольника равна $S_{ABC}=240$ м$^2$, гипотенуза $AB=34$ м, величина угла $BAC$ меньше величины угла $CBA$, а показатели световой отдачи (яркости) светильника $P$ составляет 51840 лм, светильника $P_A$ — 28512 лм, светильника $P_B$ — 5670 лм и светильника $P_C$ — 1620 лм. Освещённость $E_x$ площади $S_x$ светильником $P_x$ с показателем световой отдачи $F_x$ рассчитывается по формуле $E_x=\dfrac12\cdot\dfrac{F_x}{S_x}$ лк, где $\dfrac12$ — поправочный коэффициент, лк — люкс, лм — люмен.