Олимпиада «Шаг в будущее»

Имеется некоторый объём водного раствора кислоты 70%-ой концентрации. Отлили треть объёма этого раствора и тут же долили такой же объём раствора кислоты 2%-ой концентрации (полный объём раствора не изменился). Данную процедуру повторили ещё 6 раз (всего 7 раз, включая первую). Найдите концентрацию кислоты, полученной после проведения всех процедур. Результат округлите до целого числа.

Сколько решений в целых числах имеет уравнение \[ \sqrt{7x}+17\sqrt{y}=z\sqrt{2023}, \] если $z\leqslant10$?

Решите неравенство \[ \left|g\left(2\sqrt{2{,}5-g(x)}\right)-2\right|\geqslant1, \] где \[ g(x)=\frac{3}{|x-2|+1}. \] В ответ запишите сумму решений этого неравенства. Если решений бесконечно много или они отсутствуют, то в ответ запишите 0.

Имеются 5 тюленей, 4 котика и 3 моржа. Сколькими способами можно выбрать из них 5 животных так, чтобы среди выбранных присутствовали все три вида, но никакой вид не составлял абсолютного большинства?

Какую наименьшую длину может иметь отрезок $AB$, если точка $A$ принадлежит кривой \[ 5x^2+5y^2-10x-20y+24=0, \] а точка $B$ — одному из графиков семейства функций \[ y=\left(k^2+2k+3\right)|x-3|, \] $k\in\mathbb{R}$? В ответ запишите сумму квадрата найденной наименьшей длины и значения $k$, при котором эта длина достигается.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ углы при основании $AC$ равны $80^\circ$, боковая сторона \[ AB=\frac{2\cos10^\circ}{1-\cos40^\circ}. \] На сторонах $AB$ и $BC$ выбраны точки $E$ и $D$ соответственно, причём угол $CAD$ равен $50^\circ$, а угол $ACE$ равен $60^\circ$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $AED$.

Найдите все значения параметра $p$, при которых система уравнений имеет единственное решение \[ \begin{cases} y^2=\dfrac{1+\cos x}{2},\\ px^2+p-3=2x^2+y-\sqrt{\dfrac{1-\cos4x}{2}}. \end{cases} \] В ответе выпишите наименьшее из полученных значений параметра.

Сечение правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$ образовано плоскостью, проходящей через центр основания $ABCDEF$ и параллельной медиане $CM$ боковой грани $SCD$ и апофеме $SN$ боковой грани $SAF$. Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость сечения разбивает пирамиду, если плоскость сечения наклонена к плоскости основания пирамиды под углом $\arccos\dfrac{\sqrt{3}}{4}$. Решение представьте в виде несократимой дроби $\dfrac{m}{n}$, где $m$ и $n$ — натуральные числа. В ответ запишите сумму $m+n$.