Олимпиада «Шаг в будущее»

Четыре лифта небоскреба, отличающиеся цветовой гаммой (красный, синий, зеленый и желтый) движутся в разных направлениях и с разной, но постоянной скоростью. Наблюдая за лифтами, некто включил секундомер, и, глядя на его показания, стал записывать: $36$-я секунда — красный лифт догнал синий (двигаясь с ним в одном направлении). $42$-я секунда — красный лифт разминулся с зеленым (двигаясь в разных направлениях), $48$-я секунда — красный лифт разминулся с желтым, $51$-я секунда — желтый лифт разминулся с синим, $54$-я секунда — желтый лифт догнал зеленый лифт. На какой секунде от начала отсчета зеленый лифт разминется с синим, если за период наблюдения лифты не останавливались и не меняли направления движения?

Найдите наименьшее значение выражения $\frac{3f(1)+6f(0)-f(-1)}{f(0)-f(-2)}$, если $f(x)=ax^2+bx+c$ — произвольная квадратичная функция, удовлетворяющая условию $b\gt 2a$ и принимающая неотрицательные значения при всех действительных $x$.

Найдите все натуральные числа $n$, для которых число $2^{10}+2^{13}+2^{14}+3\cdot2^n$ является квадратом натурального числа.

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AD$. Известно, что центры вписанной в треугольник $ABD$ и описанной около треугольника $ABC$ совпадают. Найдите $CD$, если $AC=\sqrt5+1$. Ответ не должен включать обозначения тригонометрических функций и обратных к ним.

Найдите все значения параметра $b$, при котором для любого значения параметра $a\in[-2;1]$ неравенство $a^2+b^2-\sin^22x-2(a+b)\cos2x-2\gt 0$ не выполняется хотя бы для одного значения $x$.

Основанием пирамиды $TABCD$ является ромб $ABCD$. Высота пирамиды $TK$ равна $1$, точка $K$ лежит на прямой, содержащей диагональ основания $AC$, причем $KC=KA+AC$. Боковое ребро $TC$ равно $2\sqrt2$, а боковые грани наклонены к плоскости основания под углами $30^\circ$ и $60^\circ$. Найдите длину стороны основания и угол между боковым ребром $TA$ и плоскостью боковой грани $TCD$.